Свободные колебания в LC-контуре

Содержание и основные понятия

Заряженный конденсатор разряжается через катушку: электрическая энергия превращается в магнитную, затем процесс идёт обратно. В идеальном контуре колебания незатухающие.
ФГОС · 11 класс
ФОП · базовый уровень
интерактивная модель
LC-контур
собственная частота
фаза
затухание
01
Физическая картина
Что происходит и какие границы имеет модель.
Главная идея
Заряженный конденсатор разряжается через катушку: электрическая энергия превращается в магнитную, затем процесс идёт обратно. В идеальном контуре колебания незатухающие.
Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода.
Сопротивление вызывает затухание.
Собственная частота зависит от L и C.
Как рассуждать
Сначала назовите систему и взаимодействия, затем выберите величины и только после этого записывайте закон. Формула работает в пределах допущений модели.
02
Законы и величины
Символы следует читать как связь величин, а не как рецепт подстановки.
T
=
2
π
L
C
T = 2\pi\sqrt{LC}
T
=
2
π
L
C
​
формула Томсона
q
=
q
m
cos
⁡
ω
t
q=q_m\cos\omega t
q
=
q
m
​
cos
ω
t
заряд конденсатора
Разбор ситуации
Увеличение ёмкости в четыре раза увеличивает период собственных колебаний в два раза.
04
Связи и применение
В реальном мире
Увеличение ёмкости в четыре раза увеличивает период собственных колебаний в два раза.
Проверка модели
Сравнивайте предсказание с наблюдением, оценивайте единицы, порядок величины и влияние неучтённых факторов. Расхождение не всегда означает ошибку закона: часто идеализация перестаёт быть достаточной.
Ц
Что нужно понимать
Результат 1
Объяснять физический смысл темы «Свободные колебания в LC-контуре» через модель, а не только через формулу.
Результат 2
Различать и корректно использовать термины: LC-контур, собственная частота, фаза.
Результат 3
Указывать условия применимости закона, проверять единицы и предельные случаи.
Т
Термины темы
Определение должно указывать физический смысл, а не заменяться бытовым синонимом.
LC-контур
Электрическая цепь из конденсатора и катушки, в которой энергия периодически переходит между электрическим и магнитным полями.
собственная частота
Частота свободных колебаний системы после малого отклонения от равновесия.
фаза
Величина, определяющая состояние периодического процесса в выбранный момент.
затухание
Уменьшение амплитуды колебаний из-за потерь энергии.
Ф
Происхождение и вывод формул
Фундаментальный закон нельзя «доказать» алгеброй: для каждой записи указано, является ли она определением, экспериментальным законом или следствием модели.
T
=
2
π
L
C
T = 2\pi\sqrt{LC}
T
=
2
π
L
C
​
следствие модели
Формула томсона.
Ниже показано, из какого определения, опыта или закона возникает эта запись и где она применима.
q
C
+
L
d
I
d
t
=
0
,
I
=
d
q
d
t
\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}=0,\qquad I=\frac{dq}{dt}
C
q
​
+
L
d
t
d
I
​
=
0
,
I
=
d
t
d
q
​
В идеальном LC-контуре напряжение конденсатора уравновешивается ЭДС самоиндукции.
d
2
q
d
t
2
+
q
L
C
=
0
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{LC}=0
d
t
2
d
2
q
​
+
L
C
q
​
=
0
Подстановка тока приводит к уравнению гармонического осциллятора.
ω
0
=
1
L
C
,
T
=
2
π
ω
0
=
2
π
L
C
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{LC}
ω
0
​
=
L
C
​
1
​
,
T
=
ω
0
​
2
π
​
=
2
π
L
C
​
Собственная частота уравнения задаёт период колебаний.
Условия:
Идеальный колебательный контур с постоянными L и C, нулевым сопротивлением и без излучательных потерь.
Контроль:
Размерности обеих частей должны совпадать; результат проверяют на знак, порядок и предельный случай.
q
=
q
m
cos
⁡
ω
t
q=q_m\cos\omega t
q
=
q
m
​
cos
ω
t
следствие модели
Заряд конденсатора.
Ниже показано, из какого определения, опыта или закона возникает эта запись и где она применима.
d
2
q
d
t
2
+
ω
2
q
=
0
\frac{d^2q}{dt^2}+\omega^2q=0
d
t
2
d
2
q
​
+
ω
2
q
=
0
Баланс напряжений идеального LC-контура даёт уравнение гармонических колебаний заряда.
q
(
t
)
=
q
m
cos
⁡
(
ω
t
+
φ
)
q(t)=q_m\cos(\omega t+\varphi)
q
(
t
)
=
q
m
​
cos
(
ω
t
+
φ
)
Общее гармоническое решение содержит амплитуду и начальную фазу.
q
(
0
)
=
q
m
,
I
(
0
)
=
0
⇒
φ
=
0
q(0)=q_m,\ I(0)=0\quad\Rightarrow\quad\varphi=0
q
(
0
)
=
q
m
​
,
I
(
0
)
=
0
⇒
φ
=
0
Если в начальный момент конденсатор заряжен максимально, выбирается косинус без начальной фазы.
Условия:
Идеальный LC-контур; отсчёт времени выбран в момент максимального заряда, ω = 1/√(LC).
Контроль:
Размерности обеих частей должны совпадать; результат проверяют на знак, порядок и предельный случай.
!
Границы модели и типичные ошибки
Ошибка: забыть условие модели
Нельзя переносить формулу на любую ситуацию только из-за совпадения букв. Ключевое условие этой темы: Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода.
Как проверить рассуждение
Сопротивление вызывает затухание. Затем проверьте единицы, направление векторов и поведение результата при нулевом или очень большом параметре.
Σ
Вывод по теме
Свободные колебания в LC-контуре
Заряженный конденсатор разряжается через катушку: электрическая энергия превращается в магнитную, затем процесс идёт обратно. В идеальном контуре колебания незатухающие.
Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода.
Сопротивление вызывает затухание.
Любой численный результат сопровождается единицей, знаком и объяснением его физического смысла.
Содержание сверено с ФРП по физике ООО/СОО 2025 года и тематикой действующих линий ФПУ: И. М. Пёрышкин и соавторы (7–9), Г. Я. Мякишев и соавторы (10–11); углубления — с линиями «Инженеры будущего» и В. А. Касьянова. Формулировки оригинальные, тексты учебников не воспроизводятся.